¿atender a la diversidad o a la diferencia?
Como lo señaló Heidegger en Identidad y Diferencia, igual no es lo mismo que idéntico. Si entendemos “diverso” en oposición a idéntico, “atender a la diversidad” será mucho más que atender a las diferencias. Se habla hoy de la atención a la diversidad pero entendiéndola como atención a la diferencia.
Atender a las diferencias es atender a lo distinto, lo no igual, lo diferente. ¿Diferente respecto de qué? Diferente de lo conocido, lo repetido, lo igual.
Atender a la diversidad es atender a la irrepetibilidad del sujeto que, pudiendo ser en muchos aspectos igual a otro, no deja por ello de ser idéntico sólo a sí mismo.
Para atender a la diversidad, no basta con atender a las diferencias. Podemos educar tipos distintos de alumnos, respetando las diferencias, pero olvidando que todos y cada uno de los sujetos que intervienen en el hecho educativo es único e irrepetible.
Atendiendo los casos diferentes, programando y llevando a la praxis áulica estrategias específicas para alumnos o grupos de alumnos diferentes, haciendo adaptaciones didácticas, lo que hacemos es atender a las diferencias, algo de por sí loable. Pero, si llamamos a esto atender a la diversidad, ocultamos nuevamente lo que significan identidad y diversidad, ocultamos el carácter más profundo de nuestra condición humana: el hecho de ser únicos e irrepetibles.
Sólo una educación que atienda a la persona, a cada persona, en su condición de ser único, puede ser llamada educación que atiende a la diversidad.
educacion para discapacitados: ¿en centros “normales” o “específicos”?
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Los expertos coinciden en que caso debe ser estudiado individualmente antes de tomar una decisión.
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Elegir bien es fundamental para que salgan adelante y demuestren a la sociedad que son tan válidos como cualquiera
El debate persiste a la hora de elegir la educación adecuada para las personas minusválidas, entre las dos opciones que existen: la integrada en centros ‘normales’ y la específica para cada discapacidad. Y es que si los propios expertos presentan opiniones diferentes, las familias lo tienen aún más complicado antes de tomar una decisión de la cual va a depender que en un futuro sus hijos puedan valerse por sí mismos y salir adelante en la vida.
“Muchos padres creen que educar a sus hijos es que aprendan a leer y escribir. Nosotros pensamos que, si bien hay que enseñarles a leer y escribir, lo importante es que sepan desenvolverse en la vida diaria, que sean capaces de coger el autobús o ir a hacer la compra, como cualquier otra persona”, asegura Matilde Muñoz de Leyva, directora del Colegio Estudio 3, de AFANIAS (Asociación Pro-Personas con Deficiencia Mental).
Si bien los planteamientos en el mundo de la educación para discapacitados no son siempre tan radicales, ya que dependen de las minusvalías de los afectados, si está claro que es un tema en constante evolución, donde lo que era bueno hace unos años hoy no lo es tanto.
Que los padres elijan el centro adecuado depende de muchos factores y todos los expertos coinciden que cada caso es diferente y debe ser atendido de una forma individualizada. Más aún, cuando la educación es en la actualidad una pieza fundamental para poder coexistir con éxito en una sociedad cada vez más competitiva y preparada, en la que todos, no sólo los discapacitados, tienen dificultades para salir adelante.
En nuestro país las personas que padecen algún tipo de discapacidad tienen dos opciones educativas: la educación integrada con alumnos ‘normales’ y la educación específica. Ante estas dos alternativas la elección no siempre está clara para la familia. Dependerá de la discapacidad del niño y del entorno socio-cultural en el que esté inmerso.
No obstante, cada experto suele tener sus preferencias. Pedro Pérez, director del Instituto para Sordomudos Ponce de León, de Madrid, considera que “la educación específica permite a los niños sordos adquirir una formación que les permite alcanzar un mayor conocimiento del lenguaje oral, aunque sin descartar el lenguaje de signos”. Este defensor de la educación especial infantil asegura que en muchas ocasiones el niño con problemas no es atendido correctamente por sus profesores en los colegios no específicos, ya que no saben cómo tratarlo, por lo que se puede llegar a sentir frustrado y no desarrollar sus capacidades.
Pero no todas las opiniones coinciden. Carmen Jáudenes, técnico educadora de FIAPAS (Federación de Asociaciones de Padres y Amigos de los Sordos) aboga por lograr la integración apoyada en la logopedia y la rehabilitación, aunque reconoce que “hay padres que prefieren los centros específicos”.
Pero si en el mundo de los sordos hay disparidad de opiniones entre los expertos en la materia, en otras discapacidades la elección la marca en muchos casos la situación familiar. “Muchos de los niños ciegos que estudian en colegios de la ONCE lo hacen porque en su entorno familiar tienen problemas o porque han pasado por la educación integrada y no se han adaptado”, explica María Jesús Rodríguez Solís, que atiende como profesora de apoyo a alumnos invidentes y deficientes visuales en centros ‘normales’.
Y es que la ONCE ha conseguido integrar con bastante éxito a sus niños afiliados. Para ello, ha firmado un convenio de colaboración con el Ministerio de Educación para que vayan profesores itinerantes a los colegios que acogen pequeños ciegos, que en teoría pueden ser todos. Así, además de tener un profesor de apoyo en el propio centro, los alumnos con ceguera o deficiencia visual reciben periódicamente la visita de un docente especializado en su discapacidad.
Este sistema ha triunfado y el número de alumnos que van a centros especiales de la ONCE se va reduciendo. Aún así, hay niños que debido a sus malos resultados escolares salen de centros de integración para entrar en centros de la organización de ciegos. “Hay muchos niños que pasan de la educación integrada a la específica achacando sus malos resultados escolares a su problema visual y la falta de adaptación al centro, pero en muchos de estos casos el fracaso escolar persiste, demostrándose que el problema no es la vista sino el niño” apunta Reyes Pérez Rus, técnico de rehabilitación básica de la ONCE.
El planteamiento es diferente en los niños con problemas de tipo psíquico. Matilde Muñoz de Leyva, responsable de Estudio 3, centro especializado en la educación de esta discapacidad, cree posible una educación integrada cuando los niños son más pequeños, porque sus intereses son parecidos, pero considera que a partir de la adolescencia es necesaria una especialización en los contenidos educativos
¿cómo se produce la música?
Los sonidos musicales son producidos por algunos procesos físicos que tienen un carácter periódico – una cuerda vibrando, el aire en el interior de un instrumento de viento, etc. Aun siendo muy diferentes entre ellos, estos procesos pueden ser descritos con un mismo modelo matemático. La característica más fundamental de esos sonidos es su “altura” o frecuencia. Imaginémonos una cuerda que al ser tocada vibra, dando oscilaciones en las proximidades de su posición de reposo o equilibrio. Cuanto más oscilaciones da en un período de tiempo, más alta será la frecuencia del sonido producido, y más aguda o “alta” será la nota musical resultante. La magnitud de la frecuencia se mide en Hertz (Hz), que es simplemente el número de oscilaciones o ciclos por segundo. En la música, las frecuencias absolutas no son tan importantes, como sí lo son las relaciones de frecuencia entre diferentes sonidos, las cuales denominaremos intervalos o distancias. Una melodía puede ser tocada con instrumentos de sonido grave o agudo, o en diferentes “octavas”, sin dejar de ser la misma melodía, siempre y cuando las distancias entre las notas sean preservadas.
Se puede definir un etalón, o sea, una nota estándard, de la cual podemos derivar todas las otras notas. La distancia musical que separa alguna nota de la del etalón, la denominaremos escala (pitch en inglés). El oído humano es un “instrumento” muy sensible, y en ciertas condiciones es capaz de percibir sonidos en el rango de 20 Hz hasta 20,000 Hz, aúnque el diapasón musical es significativamente menor – hasta unos 4,500 Hz. Los sonidos más agudos, aunque son audibles, se escuchan como ruidos, silbatos o timbres brillantes de los sonidos musicales. Dentro de ese diapasón, el oído puede distinguir los sonidos cuyas frecuencias difieren en un solo Hertz. Podríamos suponer que la música debería contar con unas 4,000 notas… Pero en realidad, las 88 teclas del piano es casi todo lo que tenemos.
El siguiente esquema muestra un fragmento del teclado de piano, a cada tecla le corresponde una nota musical. La última columna indica la frecuencia correspondiente (en Hertz):
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En este esquema se puede ver que las teclas forman grupos de 12 (7 blancas y 5 negras), y estos grupos se repiten de izquierda a derecha. Cada octava tecla blanca cierra un grupo y abre el otro, y por eso la distancia musical entre esas teclas se llama octava (normalmente se llama octava también el mismo grupo de 12 teclas), y su escala es igual a 2:1 – esto es, la frecuencia de la misma nota de siguiente octava es el doble, y la de octava anterior es la mitad. La distancia de dos octavas le corresponde a la relación de frecuencias de 4:1, tres octavas – 8:1 etc.: para sumar distancias tenemos que multiplicar las relaciones de frecuencias. La nota “La” (o “A”) es la nota de etalón – su frecuencia es 440 Hz. |
Dentro de cada octava, pareciera que las frecuencias de las notas son esporádicas y no siguen ninguna regla… En realidad existe un sistema bien definido. En adelante trataremos de explicar con más detalle este sistema.
Escala natural
El oído humano tiene una “construcción” tal, que los sonidos cuyas frecuencias están en la proporción simple (2/1, 3/2, 4/3 etc), suenan juntos de una manera agradable. Por otro lado, casi todos los procesos físicos que producen sonidos, además de la frecuencia principal (o el tono básico) producen también “armónicas”, es decir, las frecuencias que son dos, tres, cuatro -una cantidad entera- veces más altas. El conjunto de las armónicas constituye el timbre que es único para cada instrumento musical.
Escogeremos como base la frecuencia de 55 Hertz (esta frecuencia es absolutamente arbitraria, la única razón es que nos lleve a la frecuencia 440 Hertz que es un etalón musical contemporáneo) y vamos a multiplicarla por 2, 3, 4, etc. Obtendremos la siguiente serie:
55; 110, 165; 220, 275, 330, 385; 440, 495, 550, 605, 660, 715, 770, 825; 880
Colocaremos estas frecuencias en sus octavas correspondientes, y arreglaremos la serie en forma de una tabla:
| Octava 1 | 55 | |||||||
| Octava 2 | 110 | 165 | ||||||
| Octava 3 | 220 | 275 | 330 | 385 | ||||
| Octava 4 | 440 | 495 | 550 | 605 | 660 | 715 | 770 | 825 |
| Octava 5 | 880 | |||||||
| A | B | C | D | E | F | G | H |
Observamos que la segunda octava tiene dos notas, la tercera – cuatro, y la cuarta – ocho, eso es, ¡una octava completa natural! Ahora vamos a calcular las distancias entre las notas:
| 440 | 8:9 | 495 | 9:10 | 550 | 10:11 | 605 | 11:12 | 660 | 12:13 | 715 | 13:14 | 770 | 14:15 | 825 | 15:16 | 880 |
| A4 | B4 | C5 | D5 | E5 | F5 | G5 | H5 | A5 | ||||||||
| 1:1 | 9:8 | 5:4 | 11:8 | 3:2 | 13:8 | 7:4 | 15:8 | 2:1 |
En las celdas superiores intermedias se indica las distancias entre las frecuencias vecinas, y en las celdas inferiores, las distancias con respeto a la frecuencia principal, que en nuestro ejemplo es 440 Hz. La numeración de octavas (4-a o 5-a) corresponde al estándard contemporáneo.
El producto de todas las relaciones intermedias es igual a 2, esto es, a una octava. La serie ordenada de esta manera se conoce como escala. La escala que acabamos de construir se conoce como escala natural.
La distancia musical entre la nota principal y la segunda armónica es 2/1 – una octava. La distancia musical entre la segunda y la tercera armónica en la música se llama quinta, le corresponde la relacion de frecuencias 3/2. En nuestra escala es la distancia entre las notas A4 y E5. La distancia entre la 3-a y 4-a armónica es cuarta -con la relación 4/3-, como entre las notas E5 y A5. Estos son distancias o intervalos fundamentales en la música.
Escala pentatónica
Los músicos antiguos, que no tenían el concepto de escala natural, intuitivamente ajustaban (afinaban) las cuerdas (o en el caso de instrumentos de viento, adecuaban su longitud y grosor, distancia entre agujeros, etc.) de manera que produzcan un sonido lo más agradable posible para el oído humano.
Dentro de una octava, la combinación de sonidos más pura es la quinta, es decir, el intervalo musical entre dos notas cuyas frecuencias se relacionan como 3:2. (En nuestro ejemplo, estas notas son A y E.) Al escoger como la base la nota A4, iremos dos quintas arriba y abajo, tenemos la siguiente serie de 5 sonidos:
195.5556, 293.3333, 440, 660, 990
Estas frecuencias están más cerca de las notas: G3, D4, A4, E5 y B5. Vamos a transportarlas a la misma octava (multiplicando o dividiendo por 2 cuando es necesario) y calcular distancias entre las notas, tenemos:
| 293.33 | 8:9 | 330.00 | 27:32 | 391.11 | 8:9 | 440.00 | 8:9 | 495.00 | 27:32 | 586.67 |
| D4 | E4 | G4 | A4 | B4 | D5 |
La distancia de 9/8 se llama tono (T). La distancia de 32/27 es igual a 1.5 tonos (TS). Esta serie de cinco intervalos musicales: T-TS-T-T-TS se llama escala pentatónica, y el sistema musical en que se usa esta escala, se llama pentafonía.
La pentafonía se usa en la mayoría de los sistemas musicales tradicionales, ya que es la escala más simple e intuitiva. Este es un ejemplo – un fragmento del tema andino «Sark’inani»:
NOTA: Dar un click sobre el a para escuchar la melodia en formato MIDI.
Cabe mencionar que se puede escoger como base cualquiera de las 12 notas del piano y construir una escala pentatónica. Por ejemplo, las cinco teclas negras forman precisamente una pentafonía.
Escala diatónica
Ya sabemos que dos notas de una quinta producen juntas un sonido muy agradable. Dentro de la quinta, se encuentra un sonido más formando un triplete en que las frecuencias se relacionan como 4:5:6. Este triplete se llama armonía. La escala natural tiene una sola combinación armónica, las notas A-C-E. Al descubrir la armonía, los músicos antiguos empezaron a afinar sus instrumentos de manera que toda la escala musical fue compuesta de armonías continuas, como esta:
| 352 | 4:5 | 440 | 5:6 | 528 | 4:5 | 660 | 5:6 | 792 | 4:5 | 990 | 5:6 | 1188 |
| F4 | A4 | C5 | E5 | G5 | B5 | D6 |
Vamos a construir una octava y calcular distancias entre las notas vecinas:
| 264 | 8:9 | 297 | 9:10 | 330 | 15:16 | 352 | 8:9 | 396 | 9:10 | 440 | 8:9 | 495 | 15:16 | 528 |
| C4 | D4 | E4 | F4 | G4 | A4 | B4 | C5 | |||||||
| do | re | mi | fa | sol | la | si | do |
Esta serie de notas o distancias entre ellas se llama escala diatónica. Como habíamos dicho antes, la distancia de 9/8 es un tono. La distancia de 10/9 está muy cerca y se llama tono menor, y la distancia de 16/15 es aproximadamente igual a una mitad del tono, y se llama semitono. La serie de tonos (T) y semitonos (S): T-T-S-T-T-T-S, donde el semitono es el tercer intervalo, se llama tonalidad mayor. Para construir una tonalidad menor tenemos que iniciar esta secuencia desde la nota A: T-S-T-T-S-T-T. Aquí el semitono es el segundo. La diferencia entre estas tonalidades ya había sido descubierta por los músicos antiguos: la misma melodía tocada en tonalidades diferentes (mayor o menor), tiene un carácter diferente, lo que permite expresar sentimientos mediante la variación de la tonalidad de la música. Las canciones que usan una tonalidad mayor son alegres y vivaces, mientras que las que usan una tonalidad menor son tristes y melancólicas.
Como un ejemplo ilustrativo, podemos escuchar este fragmento de la balada folklórica rusa «No Es De Noche» en la tonalidad de «Sol menor» (Gm):
NOTA: Dar un click sobre el a para escuchar la melodia en formato MIDI.
La misma melodía tocada en la tonalidad de «Do mayor» (C) tiene un carácter mucho más alegre y optimista:
NOTA: Dar un click sobre el a para escuchar la melodia en formato MIDI.
Otra vez, podemos escoger como base para construir una tonalidad, cualquiera de las 12 notas, 24 diferentes en total. Estas tonalidades llevan el nombre de la nota principal y la palabra “mayor” o “menor”, por ejemplo, «Do mayor» o C, «La menor» o Am, etc.
Las distancias de las notas en una tonalidad mayor respeto a la nota principal y sus nombres:
| 264 | 297 | 330 | 352 | 396 | 440 | 495 | 528 |
| C4 | D4 | E4 | F4 | G4 | A4 | B4 | C5 |
| 1 | 9:8 | 5:4 | 4:3 | 3:2 | 5:3 | 15:8 | 2 |
| primera | segunda | tercera | cuarta | quinta | sexta | séptima | octava |
Escala cromática
Al descubrir las tonalidades, los músicos antiguos quisieron tener la posibilidad de pasar libremente entre ellas. Evidentemente, para hacerlo, se necesita construir escalas mayores y menores comenzando con cada una de las siete notas que tenemos. Los resultados de esos cálculos están presentados en la siguiente tabla:
| A | 275.00 | 293.33 | 330.00 | 366.67 | 412.50 | 440.00 | 495.00 | |||||
| Am | 264.00 | 297.00 | 330.00 | 352.00 | 396.00 | 440.00 | 495.00 | |||||
| B | 278.44 | 309.38 | 330.00 | 371.25 | 412.50 | 464.06 | 495.00 | |||||
| Bm | 278.44 | 297.00 | 334.13 | 371.25 | 396.00 | 445.50 | 495.00 | |||||
| C | 264.00 | 297.00 | 330.00 | 352.00 | 396.00 | 440.00 | 495.00 | |||||
| Cm | 264.00 | 297.00 | 316.80 | 356.40 | 396.00 | 422.40 | 475.20 | |||||
| D | 278.44 | 297.00 | 334.13 | 371.25 | 396.00 | 445.50 | 495.00 | |||||
| Dm | 267.30 | 297.00 | 334.13 | 356.40 | 400.95 | 445.50 | 475.20 | |||||
| E | 275.00 | 309.38 | 330.00 | 371.25 | 412.50 | 440.00 | 495.00 | |||||
| Em | 264.00 | 297.00 | 330.00 | 371.25 | 396.00 | 445.50 | 495.00 | |||||
| F | 264.00 | 293.33 | 330.00 | 352.00 | 396.00 | 440.00 | 469.33 | |||||
| Fm | 264.00 | 281.60 | 316.80 | 352.00 | 396.00 | 422.40 | 475.20 | |||||
| G | 264.00 | 297.00 | 330.00 | 371.25 | 396.00 | 445.50 | 495.00 | |||||
| Gm | 267.30 | 297.00 | 316.80 | 356.40 | 396.00 | 445.50 | 475.20 | |||||
| C | D | E | F | G | A | B |
Esta tabla tiene 25 sonidos diferentes, ¡18 nuevos! Y no es todo, porque cada uno de esos nuevos sonidos puede engendrar su propia escala, tanto mayor como menor – ¡la octava al final va a tener cerca de 100 notas! Sería sumamente difícil tocar un instrumento de tantas teclas. Los griegos antiguos hicieron un compromiso: introducir notas “extra” sólo donde el intervalo entre las notas vecinas sea un tono entero (C-D, D-E, F-G, G-A, A-B), de manera que la distancia mínima dentro de una octava sea igual a un semitono. Como resultado de esto, las notas adicionales obtenidas ocupan las posiciones donde se encuentran las teclas negras del piano.
Recordemos al famoso matemático y filósofo griego Pitágoras, quien fue a la vez un buen músico. Esa combinación de talentos le permitió descubrir la escala natural, los principios básicos de la acústica musical y construir un sistema sintónico que ha existido por más de 2,000 años.
Pitágoras propuso derivar todas las 12 notas de puras quintas (de la misma manera que nosotros lo hicimos para construir una escala pentatónica). Vamos a empezar otra vez con la nota A4 que tiene la frecuencia de 440Hz, pasar quinta-a-quinta 6 veces arriba, sucesivamente multiplicando la frecuencia por 3/2, y 6 quintas abajo, dividiendo por 3/2:
| 38.63 | 57.94 | 86.91 | 130.37 | 195.56 | 293.33 | 440.00 | 660.00 | 990.00 | 1485.00 | 2227.50 | 3341.25 | 5011.88 |
| D#1 | A#1 | F2 | C3 | G3 | D4 | A4 | E5 | B5 | F#6 | C#7 | G#7 | D#8 |
La primera y la última nota de esa escala es la misma nota D#, aúnque de diferentes octavas, la D#8 está a siete octavas arriba de l # . Aquí surge un problema: en esta escala no es posible pasar directamente de D#1 a D#8 octava-a-octava (multiplicando por 2 la frecuencia). ¡Las 7 octavas no son iguales a las 12 quintas! Esta discrepancia (que es igual a (3/2)12 : 27 = 1.013643 aproximadamente, o sea, 0.2346 de semitono) lleva el nombre de coma pitagoreana. Si queremos preservar pura la quinta, tenemos que cambiar la octava, que es una distancia aún más fundamental en la música.
La última reforma musical fue inspirada por un organista alemán, Andreas Werckmeister, a fines del siglo XVII. Él propuso hacer todos los semitonos iguales. El problema planteado así tiene una única solución: la distancia musical entre cada una de las notas vecinas debe ser igual a la raíz doceava de 2, o sea, 21/12. Este sistema por lo general se denomina sintonización bien temperada o temperamento igual. La escala de 12 semitonos iguales se llama escala cromática. Cada semitono a su vez se divide en 100 partes iguales que se llaman centavos de semitono. El temperamento asimismo altera la quinta, que llega a ser un poco más corta, y modifica también las demás distancias naturales, quedando pura únicamente la octava. Las ventajas obtenidas son evidentes: ahora se puede pasar libremente entre tonalidades, y de esta manera, se logró eliminar la coma pitagoreana.
Finalmente vamos a comparar la escala natural, la escala pitagoreana y la escala cromática:
| Natural | 275.00 | 302.50 | 330.00 | 357.50 | 385.00 | 412.50 | 440.00 | 495.00 | ||||
| Pitagoreana | 260.74 | 278.44 | 293.33 | 309.03 | 330.00 | 347.65 | 371.25 | 391.11 | 417.66 | 440.00 | 463.54 | 495.00 |
| Cromática | 261.63 | 277.18 | 293.66 | 311.13 | 329.63 | 349.23 | 369.99 | 392.00 | 415.30 | 440.00 | 466.16 | 493.88 |
| C | C# | D | D# | E | F | F# | G | G# | A | A# | B |
Para calcular la frecuencia de cada nota en la escala cromática, dada su escala (a cuantas teclas está de la nota de etalón La), se usa la siguiente fórmula:
Fi = 440 * 2i/12
Aquí i es la escala o la distancia de la nota de etalón. Si es negativa, la tecla está a la izquierda. Ejemplo: la frecuencia de la nota Do (que está a 9 teclas a la izquierda) es:
440 * 2-9/12 = 261.63
Referencias:
El Mundo MIDI: Conceptos Musicales. Algunas bases sobre la Música y su representación gráfica
CANCIONERO: Musica – Escritura musical en as
PHYSICS AND PSYCHOPHYSICS OF MUSIC (en inglés)
la paradoja del cumpleaños
¿Cuántas personas necesitamos reunir, de forma aleatoria, para que dos de ellas tengan su cumpleaños el mismo día con una probabilidad mayor del 50%?. La cifra es sorprendentemente baja: basta con 23 personas.
Intuitivamente parecería que necesitamos muchas más personas, de ahí que se denomine “la paradoja del cumpleaños”. Las matemáticas, no obstante, no engañan.
Por simple enumeración, es fácil deducir que la probabilidad de que dos “eventos” coincidan entre un número dado de posibilidades es de:
d! P2(n,d) = 1 - ---------- (d-n)!dn
donde n es el número de eventos en el sistema, y d es el número de posibilidades diferentes.
En el caso de los cumpleaños, y tomando 23 y 365 como parámetros (ignoramos los años bisiestos y suponemos que todos los cumpleaños son equiprobables), obtenemos que p2(23,365) = 0.50729723432398544. Es decir, una probabilidad algo mayor del 50%.
Calcular estas probabilidades para valores grandes es muy problemático porque los factoriales crecen a gran velocidad. No obstante esa probabilidad se puede aproximar por
P2'(n,d) = 1 - e-n(n-1)/2d = 1 - (1-n/2d)n-1 (con un error máximo de n3/6(d-n+1)2)
Supongamos que queremos calcular la probabilidad p=Pk(n,d) de que existan k coincidencias. La fórmula resultante es bastante compleja, pero se puede aproximar de forma bastante razonable como la resolución de la siguiente ecuación:
ne-n/(dk) = (dk-1k!ln(1/(1-p))*(1-n/(d(k+1))))1/k
Para una probabilidad del 50% y 365 días, el número de personas necesarias para k=1, 2, 3… es de 1, 23, 88, 187, 313, 459, 622, 797, 983, 1179, 1382, 1592, 1809…
Tomando la fórmula aproximada de P2'(n,d), resolviendo para la probabilidad del 50% y suponiendo que n es un número grande, obtenemos la siguiente fórmula simplificada:
n = 1.17741 * sqrt(d)
Ésta es la fórmula simplificada habitual de la paradoja del cumpleaños.
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La escalera de los números 